Euclid chứng minh được 2p−1(2p − 1) là số hoàn thiện chẵn khi 2p − 1 là số nguyên tố. Đây là kết quả cuối cùng về lý thuyết số trong bộ Cơ sở của Euclid; các cuốn tiếp theo trong bộ sách này tập trung vào số vô tỉ, hình học không gian và tỷ lệ vàng. Euclid thể hiện kết quả này bằng cách phát biểu rằng nếu một cấp số nhân hữu hạn với số hạng đầu là 1 và công bội là 2 có tổng là số nguyên tố q, thì tổng này nhân cho số hạng cuối cùng t của dãy số này là một số hoàn thiện. Biểu diễn cụ thể đối với dãy số này thì tổng q của các số hạng là số nguyên tố Mersenne 2p − 1 và số hạng cuối cùng của dãy t là lũy thừa của 2, 2p−1. Euclid chứng minh qt là số hoàn thiện khi nhận thấy một cấp số nhân thứ hai, với số hạng đầu là q, công bội là 2 và có cùng số các số hạng, có tính tỷ lệ thuận với cấp số nhân ban đầu; do đó, vì tổng của dãy số ban đầu là q = 2t − 1 nên tổng của dãy số thứ hai là q(2t − 1) = 2qt − q, và tổng của cả hai dãy số cộng lại là 2qt, bằng hai lần số hoàn thiện giả thiết lúc đầu. Tuy nhiên, hai dãy số này lại không giao nhau và (do tính nguyên tố của q) vét kiệt tất cả các ước của qt, nên qt là một số có tổng các ước bằng 2qt, dẫn đến nó là số hoàn thiện.[2]

Hơn một thiên niên kỷ sau Euclid, Alhazen khoảng năm 1000 sau Công nguyên đưa ra giả thuyết rằng mọi số hoàn thiện chẵn đều có dạng 2p−1(2p − 1) với 2p − 1 là số nguyên tố, nhưng ông không thể chứng minh được giả thuyết đó.[3] Phải đến thế kỷ 18, hơn 2000 năm sau Euclid,[4] Leonhard Euler mới chứng minh được rằng công thức 2p−1(2p − 1) luôn cho giá trị là số hoàn thiện chẵn.[1][5] Như vậy, tồn tại mối liên hệ một–một giữa số hoàn thiện chẵn và số nguyên tố Mersenne; mỗi số nguyên tố Mersenne cho một số hoàn thiện chẵn tương ứng, và ngược lại. Từ sau chứng minh của Euler, nhiều nhà toán học đã xuất bản các cách chứng minh khác cho định lý Euclid–Euler như Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher và Wayne L. McDaniel. Đặc biệt, chứng minh của Dickson đã được nhắc đến phổ biến trong sách giáo khoa.[6]

Định lý này nằm trong danh sách web "top 100 định lý toán học", có từ năm 1999, mà về sau được Freek Wiedijk sử dụng làm kiểm chuẩn để kiểm tra độ mạnh của các trình hỗ trợ chứng minh định lý khác nhau. Tính đến năm 2021, phần chứng minh của định lý Euclid–Euler đã được định hình tại 5 trên 10 trình hỗ trợ mà Wiedijk theo dõi.[7]